以下兩個處方度數-4.00DC × 180 及-4.00DC × 135 組合後之處方為下列何者？

本題考點

兩個軸向斜交的柱鏡疊合（斜交柱鏡合成），要用「兩倍角」向量法把兩個柱鏡合成為一組球柱處方，並求出合成軸向。

正解理由

把每個柱鏡寫成兩倍角分量 (C × cos2θ，C × sin2θ)。-4.00DC×180 的兩倍角為 360 度（等同 0 度），分量為 (-4.00，0)；-4.00DC×135 的兩倍角為 270 度，分量為 (0，+4.00)。兩者相加得 (-4.00，+4.00)，合成柱鏡大小為 4.00 × √2 ≈ 5.66 D，取負柱面即 -5.66 D。球面 = （兩柱鏡度數和 − 合成柱鏡）／2 = (-8.00 + 5.66)／2 ≈ -1.17 D。

兩個柱鏡度數相同，合成軸落在兩軸的正中央，即 (135 + 180)／2 = 157.5 度。依 0.25 D 級距，合成處方為 -1.25DS/-5.75DC×157.5（精確值約 -1.17DS/-5.66DC×157.5）。選項 (A)、(B) 的球柱度數與此相符，但四個選項的軸向都不是 157.5 度；本題經考選部公告一律給分，作答任何一個選項都得分。官方答案為 A，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   -1.25DS/-5.75DC×22.5 是官方答案。球面 -1.25 D 與柱面 -5.75 D 是合成結果依級距取值的數字，這部分正確；但軸向 22.5 度不等於合成軸 157.5 度。兩者以水平線為準呈鏡像（22.5 = 180 − 157.5），是不同的軸向，不能互換。本題公告一律給分，作答此項得分。

2. (B)

   -1.25DS/-5.75DC×45：球面與柱面數值同樣與合成結果相符，但軸向 45 度不是 157.5 度；本題公告一律給分，作答此項同樣得分。

3. (C)

   -5.75DS/-1.75DC×22.5：球面 -5.75 D、柱面 -1.75 D 都與合成結果（球面約 -1.17 D、柱面約 -5.66 D）不同；改用正柱面寫法，合成處方約為 -6.83DS/+5.66DC×67.5，也對不上此選項，軸向 22.5 度亦不符；本題公告一律給分，作答此項同樣得分。

4. (D)

   -5.75DS/-1.75DC×45：球柱數值與 (C) 相同，同樣與合成結果不符，軸向 45 度也不是 157.5 度；本題公告一律給分，作答此項同樣得分。

演算步驟

1. 兩倍角：180 × 2 = 360 度（等同 0 度）；135 × 2 = 270 度
2. 分量：柱鏡一 = (-4.00 D × cos0°，-4.00 D × sin0°) = (-4.00 D，0)；柱鏡二 = (-4.00 D × cos270°，-4.00 D × sin270°) = (0，+4.00 D)
3. 合成分量 = (-4.00 D，+4.00 D)
4. 合成柱鏡 = -4.00 D × √2 ≈ -4.00 D × 1.41421 ≈ -5.66 D
5. 球面 = (-4.00 D − 4.00 D + 5.66 D)／2 ≈ -1.17 D
6. 合成軸 = (135 + 180)／2 = 157.5 度
7. 依 0.25 D 級距：-1.17 D 取 -1.25 D，-5.66 D 取 -5.75 D → -1.25DS/-5.75DC×157.5
8. 驗算等價球面：原本 -4.00 D／2 + (-4.00 D)／2 = -4.00 D；合成後 -1.17 D + (-5.66 D)／2 ≈ -4.00 D，一致。
9. 正柱面寫法：球面 -1.17 D + (-5.66 D) ≈ -6.83 D，軸 157.5 − 90 = 67.5 度。

記憶點